Συνολικές προβολές σελίδας

Παρασκευή, 4 Απριλίου 2008

Οι τρεις πρώτοι ορισμοί των κωνικών τομών


Οι κωνικές τομές προκύπτουν από τομή κώνου και επιπέδου. Είναι γνωστό ότι μέχρι το 1997 που προέκυψε ο 4ος ορισμός των κωνικών τομών (βλέπε στις αναρτήσεις του Οκτωβρίου), είχαμε στη διάθεσή μας τρείς ορισμούς αυτών, οι οποίοι είναι οι εξής:
1ος ορισμός
Θεωρούμε ορθό κώνο με κορυφή το σημείο Κ και μία διάμετρο βάσης αυτού έστω την ΑΒ. Συμβολίζουμε με ω τη γωνία που σχηματίζεται από την ΚΒ και την προέκταση της ΚΑ. Συμβολίζουμε με ΜΝ (άξονας συμμετρίας της κωνικής ευρισκόμενος στο επίπεδο ΚΑΒ) την τομή του επιπέδου ΚΑΒ και της κωνικής τομής. Συμβολίζουμε με α τη γωνία που σχηματίζεται από τη ΜΝ και την ΚΑ.

α) Αν η α είναι μικρότερη από την ω, τότε η κωνική τομή είναι έλλειψη. Στην ειδική περίπτωση που α=ω/2 η έλλειψη γίνεται κύκλος.
β) Αν η α είναι ίση με την ω, παραβολή.
γ) Αν η α είναι μεγαλύτερη από την ω, υπερβολή. Επειδή δε ο κώνος θεωρείται δίχωνος, προκύπτει ότι η υπερβολή έχει δύο σκέλη.
2ος ορισμός
α) Έλλειψη ονομάζουμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων (απόλυτη τιμή) από 2 δοθέντα σημεία του ιδίου επιπέδου είναι σταθερό.
β) Παραβολή ονομάζουμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου που απέχουν το ίδιο από δοθέν σημείο και δοθείσα ευθεία αυτού. Το σημείο καλείται εστία και η ευθεία διευθετούσα.
γ) Υπερβολή ονομάζουμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου, των οποίων η διαφορά των αποστάσεων (απόλυτη τιμή) από 2 δοθέντα σημεία του ιδίου επιπέδου είναι σταθερή.
3ος ορισμός
Ο τρίτος ορισμός σχετίζεται με την εκκεντρότητα.
Έχει δειχθεί ότι ο λόγος των αποστάσεων τυχόντος σημείου της κωνικής από σταθερό σημείο και σταθερή ευθεία είναι σταθερός, συμβολίζεται με e και ονομάζεται εκκεντρότητα.
α) Αν η εκκεντρότητα είναι μικρότερη από τη μονάδα, τότε η κωνική ονομάζεται έλλειψη.
β) Αν η εκκεντρότητα είναι ίση με τη μονάδα, παραβολή.
γ) Αν η εκκεντρότητα είναι μεγαλύτερη από τη μονάδα, υπερβολή.